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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Calcule los siguientes límites
b) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x))$
b) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x))$
Respuesta
El límite que queremos calcular es:
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$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x))$
Fijate que cuando $x$ tiende a $0$, el primer sumando no tiene problema, tiende a $0$. Ahora, en el segundo sumando, es decir $2x^{2}\ln(x)$, tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito". Vamos a salvar esta indeterminación en un cálculo auxiliar, reescribiendo la expresión como un cociente para poder aplicar L'Hopital
Cálculo auxiliar
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}2x^{2}\ln(x)$
Reescribimos como un cociente:
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}2x^{2}\ln(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{2x^{2}}} $
Estamos frente a un "infinito sobre infinito", ahora si aplicamos L'Hopital:
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} -x^{2} = 0 $
Entonces, volviendo al límite original obtenemos:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin(7x)+2x^{2}\ln(x)) = 0 + 0 = 0$